5.1
Ceros y raíces de la función
"Los ceros o raíces de una función son los
valores de la variable x para los cuales f(x) = 0
Teniendo en cuenta la expresión general de una función
cuadrática y además que f(x)=0 , igualamos la expresión a cero y se transforma en una
ecuación cuadrática."
Para hallar los ceros de una función f(x), hay que buscar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 0.
Para ello, planteamos f(x)=0 y despejamos, de ser posible, los valores de x que verifican la ecuación.
Ejemplos:
Busquemos las raíces de h(x)= x2 - 1 ( a=1, b=0, c= -1)
Planteamos x2 - 1=0
Despejamos x = x2 = |x|= Ö 1 =>
|x|= 1 =>x1=1 o x2= -1
Los valores x1=1 o x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= x2 + 2 ( a=1, b=0, c= 2 )
Planteamos ------------->x2 + 2 =0
Despejamos x ---------->x2 = -2
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, g(x) no tiene raíces reales, es decir, no tiene puntos de contacto con el eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )2
Planteamos -------------> ( x - 3 )2 =0
Despejamos x ----------> x - 3 = Ö 0
x - 3 = 0 => x = 3
El valor x=3 es el único punto en el que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 4x ( a=1, b=4, c= 0)
Planteamos ---------------> x 2 + 4x = 0
Extraemos factor común x--> x (x + 4 ) = 0
Si x (x + 4 ) = 0 => x=0 o x + 4 =0
Despejamos x ----------> x + 4 = 0 => x = -4
Los valores x1= 0 o x2= -4 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 2x - 3 ( a=1, b=2, c= -3)
Planteamos -------------> x 2 + 2x - 3 =0
f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12
Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3
Para ello, planteamos f(x)=0 y despejamos, de ser posible, los valores de x que verifican la ecuación.
Ejemplos:
Busquemos las raíces de h(x)= x2 - 1 ( a=1, b=0, c= -1)
Planteamos x2 - 1=0
Despejamos x = x2 = |x|= Ö 1 =>
|x|= 1 =>x1=1 o x2= -1
Los valores x1=1 o x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= x2 + 2 ( a=1, b=0, c= 2 )
Planteamos ------------->x2 + 2 =0
Despejamos x ---------->x2 = -2
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, g(x) no tiene raíces reales, es decir, no tiene puntos de contacto con el eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )2
Planteamos -------------> ( x - 3 )2 =0
Despejamos x ----------> x - 3 = Ö 0
x - 3 = 0 => x = 3
El valor x=3 es el único punto en el que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 4x ( a=1, b=4, c= 0)
Planteamos ---------------> x 2 + 4x = 0
Extraemos factor común x--> x (x + 4 ) = 0
Si x (x + 4 ) = 0 => x=0 o x + 4 =0
Despejamos x ----------> x + 4 = 0 => x = -4
Los valores x1= 0 o x2= -4 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 2x - 3 ( a=1, b=2, c= -3)
Planteamos -------------> x 2 + 2x - 3 =0
f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12
Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3
5.2 Teoremas del Factor y el residuo
Si el residuo de la división de un polinomio es cero, entonces x - r es factor del polinomio, r su raíz y viceversa; f(r) = 0.
Ejemplos:
°Si f(x) = x2 + x - 6, los factores son x -2 y x + 3 porque f(2) = (2)2 + (2) - 6 = 0 y f(-3) = (-3)2 + (-3) - 6 = 0.
°Si f(x) = 2x3 + 3x2 - x -4, para x = 1, f(1) = 2 + 3 - 1 - 4 = 0, por lo tanto (x - 1) es un factor.
°Use el teorema del factor para probar que 
es un factor de 
.
es un factor de .
Solución
, así 
.
.
°(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.
°(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.
P(−1) = (−1)6 − 1 = 0
(x + 1) es un factor.
°(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)
(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
(x − 1) es un factor.
°(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)
(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.
P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0
(x + 2) es un factor.
° Si f(x) = 12x2 + (x) - 2, el factor es f(1), por tanto f(1) = 12 + (1) - 2 = 0.
Si r es cualquier número real el residuo de la división del polinomio P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... +anx0entre x - r, es igual a P(r). Es decir, si un polinomio f(x), se divide por x - r, donde r es una constante, el residuo es igual al valor del polinomio cuando x = r.
El teorema del residuo es muy útil cuando se quieren encontrar los factores de un polinomio.
Ejemplos:
°Si dividimos f(x) = 2x3 + 3x2 - x -4 por (x -4), entonces el residuo será: f(4) = 128 + 48 - 4 -4 = 168
°Hállese el residuo de dividir el polinomio 
entre 
.
entre .
Solución.
se puede escribir como 
, por tanto 
.
.
.
O sea que el residuo es 2.
Si ƒ(x)correspondiente al polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene
ƒ(x) = 2x3 - 4x2 - 3x + 2
ƒ(3) = 2(3)3 - 4(3)2 - 3(3) + 2
ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2
ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2
ƒ(3) = 11
5.3 División Sintética
Es el método de división de polinomios que usa los teoremas del residuo y del factor para conocer sus cocientes.
Ejemplos:
Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
5.4 Teorema fundamental del álgebra
El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.
Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:
5.5 Teorema de factorizacion lineal
5.4 Gráficas de funciones polinomiales factorizables
Los ceros reales representan los puntos de intersección de un polinomio con el eje x, a partir de ahí es posible establecer la curva de un polinomio. Un valor anterios al cero real más pequeño, sustituyéndola en la función nos permite conocer si la si la curva es creciente o decreciente, dependiendo si la pendiente de la curva es positiva o negativa, respectivamente.
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