6.APLICAS FUNCIONES RACIONALES

6.1 Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

 

 Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplos :

6.2  Dominio de definición de una función racional

Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

El dominio es R menos los valores que anulas al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

6.3 Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (+∞) o para valores muy negativos (-∞).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni se cruzan, hay otras en las cuales si se puede cruzar la asíntota horizontal. Si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

6.4 Asíntotas Verticales

Si estudiamos lo que ocurre con las imágenes cuando los valores de la variable independiente se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que éstas se vayan acercando a un valor determinado, y=c, sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=ces una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".
En el ejemplo anterior, la función y=5/(x-2) también tenía éste comportamiento, con y=0 (el eje OX) como asíntota horizontal.
Veamos una función parecida: y=5/(x+2) + 3.

Ejemplo:

6.5 Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas

*Criterios

Las funciones racionales, en ocasiones también tienen asíntotas horizontales y oblicuas. Las reglas para determinar si la gráfica de una función racional tiene este tipo de asíntotas, están dadas en los siguiente criterios.

Asíntotas horizontales:

1) Cuando n < m el eje x es una asíntota horizontal. La ecuación de la asíntota es de la forma y = 0. 

2) Cuando n = m, tiene asíntota horizontal. La ecuación es de la forma y = a_n/b_m.

3) Cuando n > m, ninguna asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas:

Si n = m + 1 tiene una asíntota oblicua. En este caso la función se puede descomponer como: f(x) = ax + b + r(x)/d(x). Cuando x → ∞, r(x)/d(x) → 0. La asíntota es y = ax + b.