4.1
Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro
El comportamiento de la gráfica de las funciones polinomiales, como lo has estado
advirtiendo hasta el momento depende directamente de su grado y coeficiente
principal.
Las funciones polinomiales de grado 3 y 4, a diferencia de las funciones anteriores,
requieren de un método específico para la obtención de sus raíces cuando no son
factorizables.
-Características de una función polinomial de grado 3 y 4
advirtiendo hasta el momento depende directamente de su grado y coeficiente
principal.
Las funciones polinomiales de grado 3 y 4, a diferencia de las funciones anteriores,
requieren de un método específico para la obtención de sus raíces cuando no son
factorizables.
-Características de una función polinomial de grado 3 y 4
Al igual que las funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, esta clase de funciones posee
también su grado, coeficiente principal, término independiente,su dominio y rango, la
siguiente tabla muestra un ejemplo de una función de grado 3 y una de grado 4 con
sus respectivos parámetros, una vez que hayas advertido su particularidad, completa
el cuadro para la segunda función adjunta.
también su grado, coeficiente principal, término independiente,su dominio y rango, la
siguiente tabla muestra un ejemplo de una función de grado 3 y una de grado 4 con
sus respectivos parámetros, una vez que hayas advertido su particularidad, completa
el cuadro para la segunda función adjunta.
*El modelo matemático de la función tres es:
f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0.
Ejemplos:
f(x) = 12x3 +2x2+7x+5
f(x) = 4x3 +8x2+3x+38
f(x) = 5x3 +3x2+8x+28
f(x) = 14x3 +13x2+9x+209
f(x) = 93x3 +46x2+91x+282
f(x) = 132x3 +85x2+81x+52
f(x) = 293x3 +23x2+637x+117
f(x) = 35x3 +12x2+6x+578
f(x) = 23x3 +58x2+46x+90
f(x) = 293x3 +14x2+57x+345
f(x) = 34x3 +75x2+13x+789
f(x) = 4x3 +98x2+97x+837
f(x) = 92x3 +64x2+182x+128
f(x) = 67x3 +97x2+111x+198
f(x) = 85x3 +32x2+281x+734
f(x) = 46x3 +42x2+1297x+1827
f(x) = 26x3 +23x2+193x+72
f(x) = 79x3 +12x2+128x+100
f(x) = 158x3 +33x2+2x+13764
f(x) = 95x3 +67x2+11x+219
*El modelo matematico de la funcion cuatro es :
f(x) = a4x4+ a3x3 +a2x2+a1x+a0.
Ejemplos:
f(x) = 3x4+ 28x3 +84x2+4x+72
f(x) = 20x4+ 6x3 +63x2+25x+234
f(x) = 256x4+ 68x3 +95x2+265x+134
f(x) = 80x4+ 102x3 +234x2+365x+352
f(x) = 31x4+ 405x3 +24x2+972x+239
f(x) = 79x4+ 25x3 +923x2+12x+945
f(x) = 49x4+ 24x3 +23x2+6x+43
f(x) = 25x4+ 43x3 +14x2+9x+459
f(x) = 25x4+ 93x3 +647x2+182x+275
f(x) = 2x4+ 25x3 +23x2+928x+234
f(x) = 64x4+ 24x3 +2x2+68x+567
f(x) = 39x4+ 235x3 +7x2+79x+2359
f(x) = 14x4+ 73x3 +6x2+61x+594
f(x) = 5x4+ 5x3 +85x2+18x+5
f(x) = 95x4+ 25x3 +3x2+29x+34
f(x) = 9x4+ 2x3 +61x2+20x+8
f(x) = 13x4+ 14x3 +24x2+802x+79
4.2 Propiedades geométricas de las funciones
polinomiales de grados : tres y cuatro
*Propiedades geométricas de las funciones de grado tres:
Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.
La función de grado tres tiene un gran parecido con una función lineal, en el caso de que el coeficiente principal sea positivo, una rama se extiende por el tercer cuadrante y la otra por el primer cuadrante del plano cartesiano.
En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces una rama se extiende desde el segundo cuadrante y la otra por el cuarto cuadrante del plano cartesiano.
El dominio y el rango de la función cúbica son todos los números reales.
*Propiedades geométricas de las funciones de grado cuatro:
Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.
La función de cuarto grado tiene un gran parecido con una función cuadrática, en cuanto a que sus ramas se extienden hacia arriba del plano cartesiano.
En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces sus ramas se extienden hacia la parte inferior del plano cartesiano.
El dominio de la función de cuarto grado son todos los números reales y su rango no.
4.3
Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función
polinomial de grados: Tres y cuatro
Para poder graficar una función de grado tres o de grado cuatro, lo primero que hay que decidir es el intervalo a elegir donde se muestren los cambios más significativos, para ello es recomendable calcular las raíces, utilizando los métodos: despeje, factorización y uso de la división sintética. Conociendo los ceros, se tiene una buena referencia para aproximar el trazo de la gráfica.
*Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado tres:
Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema del factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0, es decir, f(r) = 0, entonces [x - r] es un factor de f(x).
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales.En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la formaa - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces pes un factor del término constante a0. y q es un factor de a3.
*Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado cuatro:
Es importante que se establezcan los puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente aplicando el teorema de factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0; es decir, f(r) = 0, entonces x - r es un factor de f(x).
La función de cuarto grado puede carecer de ceros reales. En el mejor de los casos puede llegar a tener hasta cuatro ceros reales.
La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje horizontal.
Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la formaa - bi.
La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).
Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en la función f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos consecutivos.
Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser con signos alternados.
Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el polinomio f(x) = a4x4 + a3x3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional, entonces p es un factor del término constante a0. y q es un factor de a3.
4.4
Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores
que toman sus parámetros.
-Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros, grado 3:
a) La función cúbica f(x) = ax 3 + bx2 + cx + d describe una gráfica parecida a una S.
Dependiendo del valor del coeficiente principal la curva puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.
b) Si el valor de a, es:
Positivo, la curva asciende desde la izquierda y seguirá ascendiendo hacia la derecha.
Negativo, la curva descenderá desde la izquierda y seguirá descendiendo hacia la derecha.
c) La curva de la función cúbica siempre tiene al menos una raíz real y como máximo, tres raíces reales.
d) La gráfica de la función cúbica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.
e) La curva de la función cúbica no siempre presenta puntos extremos locales; pero en caso de presentar extremos locales, éstos serán dos: un máximo y un mínimo.
f) El dominio de la función cúbica es R y su rnago es R.
-Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros, grado 4:
La función cuártica f(x) = ax4 + bx 3 + cx2 + dx + e describe una gráfica parecida a una parábola.
a) Dependiendo del valor de su coeficiente principal puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.
b) Si el valor de a:
Es positivo, la curva desciende desde la izquierda y ascenderá hacia la derecha.
Es negativo, la curva asciende desde la izquierda y descenderá hacia la derecha.
c) La curva de la función cuártica puede tener 0, 1, 2, 3 ó 4 raíces reales.
d) La gráfica de la función cuártica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.
e) La curva de la función cuártica presenta puntos extremos locales (máximos y mínimos) y pueden ser: uno, dos y tres.
f) El dominio de la función cuártica es R y su rango dependerá del máximo absoluto o bien del mínimo absoluto.
4.5
Representación gráfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro
-Representacion de la grafica de una funcion polinomila grado 4
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