1.
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
1.1
Funciones
Una función, en matemáticas, es el
término usado para
indicar la relación o correspondencia entre
dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por
el matemático francés René Descartes para
designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios
aspectos de una curva, como su
pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en
1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien
escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de
un conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar
un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un
valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a
la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable
Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables
dependientes. Los valores permitidos de X constituyen
el dominio de definición de la función y los valores que toma Y
constituye su recorrido".
Una
función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x
E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por
f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una
oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Ángela
|
55
|
Pedro
|
88
|
Manuel
|
62
|
Adrián
|
88
|
Roberto
|
90
|
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio)
constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso
(perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida
o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos
distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el
mismo peso.
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función:
como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados
a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que
no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y
sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos
elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de
un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y
(codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos.
Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno)
elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un
conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A
-----> B (o, usando X por A e Y por
B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como
dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la
preimagen de f(x).
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto
de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el
dominio de la función.
1.2 Dominio y Contradomino
(RANGO)
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de
valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la
variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para
todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta
función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función
tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x <
2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su
definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el
dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene
sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o
iguales a –3, ya que x + 3 debe ser
mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función,
debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical
sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función
de la forma
f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son
constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el
conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos
polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los
cuales el denominador sea diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por
todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores
que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados
además, por el dominio de la función.
1.3
Imagen
Adicionalmente,
es posible hablar de la imagen
de un elemento (del dominio)
para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si es una función, entonces la imagen del elemento es el elemento .
Ejemplo de imagen:
La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque
todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de
los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4
será C también.
Diferencia con el contradominio
El conjunto imagen siempre es
un subconjunto del contradominio.
Es
importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto
imagen.
Si es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función
se conoce como contradominio,
mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente
toma.
Por ejemplo,
la función tiene por contradominio el conjunto de todos los números
reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el
conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos.
En general,
el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos
coinciden, se dice que la función es suprayectiva.
1.4
Regla de Correspondencia
La regla de correspondencia que da lugar o establece la
forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento (a
los elementos, en caso de las relaciones), del segundo conjunto, puede
representarse de diversas maneras. Tal como observaste en el manejo de las representaciones de
las funciones.
Explícitamente mediante el empleo de un diagrama sagital o
tabla; también en la grafica y la relación matemática utilizada.
La clasificación que en principio nos resulta útil para
asociar formas graficas con las analíticas, incorporando el conocimiento que
tenemos acerca de ello, es agrupar las funciones según sus representaciones
analíticas o ecuaciones que las define.
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